Нужно ли впускать жену арендатора и отдавать вещи по доверенности, если он не отвечает?

Доверенностью признается

письменное уполномочие, выдаваемое одним лицом другому лицу или другим лицам для представительства перед третьими лицами.

(ст. 185 ГК РФ). Изучите доверенность, представленную супругой арендатора, если в ней есть полномочия о расторжении договора аренды вашей квартиры, то вы вправе подписать с ней соглашение о расторжении договора, акт приемки квартиры и передать вещи, принадлежащие арендатору.

Добрый день, Лина! Вам необходимо посмотреть ее доверенность. Если в ней указано право забрать вещи арендатора и расторгнуть договор от его имени, то можете смело впускать ее в квартиру, отдавать ей вещи арендатора  в Вашем присутствии и расторгать договор. 

В соответствии с положениями статьи 182 Гражданского Кодекса Российской Федерации:

     сделка, совершенная одним лицом (представителем) от имени другого лица (представляемого) в силу полномочия, основанного, в частности, на доверенности, непосредственно создает, изменяет и прекращает гражданские права и обязанности представляемого.

  Вещи лучше отдать под расписку и в присутствии свидетелей, что она забрала их и никаких имущественных претензий к Вам не имеет.
Успехов Вам!
С уважением, кандидат юридических наук Алексей Валерьевич Колотилин