Что делать и как взыскать с него стоимость аренды за весь период?

Здравствуйте.

Что делать и как взыскать с него стоимость аренды за весь период?

 никак не получится, к сожалению. Ячейка на Ваше имя, именно Вы и должны исполнять обязательство по оплате. В силу ст. 309 ГК РФ

Обязательства должны исполняться надлежащим образом в соответствии с условиями обязательства и требованиями закона, иных правовых актов, а при отсутствии таких условий и требований — в соответствии с обычаями или иными обычно предъявляемыми требованиями.

Вещи Вы вправе действительно выставить хоть куда после предупреждения и просьбы забрать свои вещи из камеры хранения. Естественно дав разумный срок для того, чтобы их забрать и согласовав время, дату, место. Если в указанные сроки он не приходит, чтобы забрать, то фиксируйте это с помощью фото или видео (последнее лучше), и выставляйте вещи хоть куда. Ст. 10 ГК РФ в таком случае Вы исполнили.

5. Добросовестность участников гражданских правоотношений и разумность их действий предполагаются.

Добрый день. тут есть смысл обратиться в суд с иском  на основании ст. 1102 ГК РФ

 Лицо, которое без установленных законом, иными правовыми актами или сделкой оснований приобрело или сберегло имущество (приобретатель) за счет другого лица (потерпевшего), обязано возвратить последнему неосновательно приобретенное или сбереженное имущество (неосновательное обогащение), за исключением случаев, предусмотренных статьей 1109 настоящего Кодекса.

Переписка подтвердит то что он знал что там его имущество, знал что вы несете расходы и действовал недобросовестно

В силу ст. 10 ГК РФ

 Не допускаются осуществление гражданских прав исключительнос намерением причинить вред другому лицу, действия в обход закона с противоправной целью, а также иное заведомо недобросовестное осуществление гражданских прав (злоупотребление правом).

В силу Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 23.06.2015 N 25 «О применении судами некоторых положений раздела I части первой Гражданского кодекса Российской Федерации»

Оценивая действия сторон как добросовестные или недобросовестные, следует исходить из поведения, ожидаемого от любого участника гражданского оборота, учитывающего права и законные интересы другой стороны

Здравствуйте,  Юлия.

Отнесите в полицию и заявите о них как о находке, укажите что возможный собственник бывший парень, что нашли их рядом со своей квартирой. Но не указывайте что это точно он.

Если полиция предложит Вам принять вещи на ответственное хранение, откажитесь принять их на ответственное хранение, пусть сами ищут где хранить.

Гражданский кодеккс

Статья 227. Находка
 
1. Нашедший потерянную вещь обязан немедленно уведомить об этом лицо, потерявшее ее, или собственника вещи или кого-либо другого из известных ему лиц, имеющих право получить ее, и возвратить найденную вещь этому лицу.
Если вещь найдена в помещении или на транспорте, она подлежит сдаче лицу, представляющему владельца этого помещения или средства транспорта. В этом случае лицо, которому сдана находка, приобретает права и несет обязанности лица, нашедшего вещь.
2. Если лицо, имеющее право потребовать возврата найденной вещи, или место его пребывания неизвестны, нашедший вещь обязан заявить о находке в полицию или в орган местного самоуправления.

Расходы за хранение его имущества можете взыскать с него в судебном порядке как подсказал коллега Феофанов Олег как неосновательное обогащение.

С уважением!  Г.А. Кураев