В итоге делили полторы доли

Из того что удалось накопать — это продажа квартиры целиком, продажа долями. В варианте «целиком» не совсем понятно нужно ли платить налог и как, на купленные доли или на всю квартиру целиком

 Елена, добрый день! В целях налогообложения срок владения имуществом считается с даты приобретения первоначальной доли. Последующее приращение долей не изменяет срок владения имуществом (долей в нем) в целом. Если нынешним владельцем который осуществляет продажу первая доля приобретена более 5 лет назад то налогом полученный доход не облагается на основании ст. 217. 217.1 НК РФ.  

Здравствуйте, Елена! 
Все верно — квартиру можно продать сразу как единый объект недвижимости новому собственнику (собственникам). 

При этом, в соответствии с п. 1 ч. 1.1. ст. 42 ФЗ «О государственной регистрации недвижимости» 

1.1. Сделки по отчуждению или договоры ипотеки долей в праве общей собственности на недвижимое имущество подлежат нотариальному удостоверению, за исключением:

 
1) сделок при отчуждении или ипотеке всеми участниками долевой собственности своих долей по одной сделке;

Таким образом, такой вариант выгоден тем, что сделку можно будет совершить в простой письменной форме без обращения к нотариусу. 

Здравствуйте!

В варианте «целиком» не совсем понятно нужно ли платить налог и как, на купленные доли или на всю квартиру целиком

Каким бы образом и в какой срок собственник ни получал бы доли, срок владения всей квартирой у него все равно считается со дня ПЕРВИЧНОЙ регистрации доли.

Уточните, каким образом мама получила первую долю? В некоторых случаях достаточно владеть первой долей 3 года (вместо 5 лет), чтобы получить право не платить налог.

Например, если первая доля получена в результате приватизации или в наследство или в дар от близкого родственника, применяется 3-летний срок.

Статья 217.1. Особенности освобождения от налогообложения доходов от продажи объектов недвижимого имущества

3. В целях настоящей статьи минимальный предельный срок владения объектом недвижимого имущества составляет три года для объектов недвижимого имущества, в отношении которых соблюдается хотя бы одно из следующих условий:

1) право собственности на объект недвижимого имущества получено налогоплательщиком в порядке наследования или по договору дарения от физического лица, признаваемого членом семьи и (или) близким родственником этого налогоплательщика в соответствии с Семейным кодексом Российской Федерации;

2) право собственности на объект недвижимого имущества получено налогоплательщиком в результате приватизации;