Что нужно, для того чтобы его уволить с максимально твердой позицией в суде?

Увольнение одним приказом возможно только за прогул, т.е. отсутствие на рабочем месте более 4х часов подряд или весь день.

Если он опоздания на меньший срок, то уволить можно только по причине неоднократности. Т.е. сначала нужно оформить замечание или выговор за одно опоздание, а затем, если он совершит после приказа еще одно опоздание, допустимо оформить взыскание в форме увольнения согласно статье 81 Трудового кодекса.

как не по причине непрохождения

Извиняюсь за опечатку и неточность — «по причине непрохождения..»

Увольнение одним приказом возможно только за прогул, т.е. отсутствие на рабочем месте более 4х часов подряд или весь день.

Если он опоздания на меньший срок, то уволить можно только по причине неоднократности. Т.е. сначала нужно оформить замечание или выговор за одно опоздание, а затем, если он совершит после приказа еще одно опоздание, допустимо оформить взыскание в форме увольнения согласно статье 81 Трудового кодекса.

— Уведомление об увольнении еще не отдали — планируем отдать в пн.

Для начала нужно решить по какому основанию допустимо уволить в данной ситуации  потом запрашивать объяснительную/делать документы о непрохождении испытания.

Если испытательный срок не прошел, то еще есть время для ознакомления его с документами, в том числе с должностной, выдаче задания, фиксирования факта невыполнения его.

Трудовой договор приложу при необходимости

Желательно приложить, если там есть детализация в плане выполнения трудовых обязанностей.

С учетом моего ответа выше далее:

 якобы бумаги не оформлены все у нас (по-сути только должностная инструкция отсутствует подписанная со стороны сотрудника).

Если отсутствует только должностная инструкция, это не нарушение,  трудовым кодексом рФ предусмотрено обязательное заключение трудового договора и приема на работу.

Одни из основных статей закона это:

ТК РФ Статья 16. Основания возникновения трудовых отношений-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/3c92ae8cb5e74f9f61fa1592dc431e3747b65015/

ТК РФ Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/b618fae23b33471d3e7e3e373dd93fcced4356b8/

ТК РФ Статья 67. Форма трудового договора-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/6078748fd8dbb18fea7eae954601330d205c3c79/

ТК РФ Статья 68. Оформление приема на работу-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/1d91a5e82050178caef5d0eea647ee6caf4effd1/

Если они выполнены, значит предусмотренный ими порядок был вами соблюден.

Должностной инструкции может и не быть вовсе в Трудовом кодексе РФ е о ней положений никаких нет.

Ранее уже были даны разъяснения Рострудом РФ в его Письме  от 9 августа 2007 года N 3042-6-0  «Должностная инструкция».

Из Письма следует, что:

Трудовой кодекс не содержит упоминания о должностной инструкции,...

Само по себе отсутствие должностной инструкции не должно расцениваться как нарушение трудового законодательства и влечь за собой ответственность...-https://docs.cntd.ru/document/902058757

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учетом моих ответов выше далее:

Мои вот так говорят, хоть испытательный и не прошел, 

Если испытательный срок еще не прошел, в таком случае если имеются основания указывающие на то, что работник не отвечает необходимым требованиям установленным работодателем,  последний вправе его уволить по основанию указанному вв статье ТК РФ Статья 71. Результат испытания при приеме на работу-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/c4fb132fe85cc97656824c71c0727e1ef5cb8e10/

Из статьи следует, что:

При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником...

Подробные пошаговые разъяснения Роструда РФ, а также типовую рекомендуемую форму уведомления, Вы можете посмотреть по следующей официальной ссылке:

Оцените результат прохождения работником испытания.
Уведомите работника о неудовлетворительном прохождении испытания.
Прекратите трудовой договор с работником.-https://онлайнинспекция.рф/instruction/185

Уведомление его типовая форма рекомендуемая Рострудом РФ. во вложении к ответу.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.