Диана!
Полагаю, что как-то решить Вашу проблему можно, если только настойчиво просить обратить внимание на ситуацию в Вашей семье, потому как при совсем формальном подходе могут и отказать. Дело в том, что Указ Президента РФ №647 от 21.09.22 ввёл частичную мобилизацию, но не определил её конкретные условия. Сам закон о мобилизации — ФЗ «О мобилизационной подготовке и мобилизации в РФ» №31-ФЗ от 26.02.97 был принят достаточно давно и вопросов при его применении сейчас возникает немало. Если смотреть на положения статьи 18 указанного закона, где расписаны основания для отсрочек от призыва, то видно, что не подлежат призыву граждане, на иждивении которых находится 4 ребёнка до 16 лет либо 3 ребёнка и беременная жена со сроком беременности свыше 22 недель. Если так, то Ваша семья не совсем подходит под отсрочку по семейным обстоятельствам.
Проблемы со здоровьем должны быть очень серьёзными, чтобы на них обратили внимание, сейчас к осмотрам призываемых подходят достаточно формально, тем более, если нет очевидных сложностей со здоровьем, только откровенно больных людей могут не призывать, судя по всему, это — не Ваш случай.
Кроме того, было озвучено, что проблема предоставления отсрочек гражданам требует повышенного внимания (пошли вопросы при призыве) и уже говорилось о возможных отсрочках для имеющих 3 малолетних детей, каких-то льготах по кредитам, но бытовые сложности учитывать не будут, только семейное положение.
Так что надо писать и в военкомат (вышестоящий), и в военную прокуратуру, и в суд (при необходимости), чтобы на Ваши проблемы обратили внимание. Есть ещё сайт Госуслуги, где также можно заявить о жалобах на призыв, есть территориальные комиссии по призыву в регионе — туда тоже можно и нужно обращаться.
В целом Ваше трудное жизненное положение понятно, но оснований для отсрочки в перечисленных условиях нет.