Смогут ли ее оформить без прописки в регионе, где находится садик?

Вообще по ФЗ РФ  «Об образовании в РФ» право на образование, в том числе и дошкольное гарантируется независимо от места жительства, но, как правило, ( сады требуют регистрацию по месту нахождения сада, это связано с соблюдением порядком очередей и ограниченного количества мест для учащихся.  

Статья 5. Право на образование. Государственные гарантии реализации права на образование в Российской Федерации
 

 
1. В Российской Федерации гарантируется право каждого человека на образование. 

 
2. Право на образование в Российской Федерации гарантируется независимо от пола, расы, национальности, языка, происхождения, имущественного, социального и должностного положения, места жительства, отношения к религии, убеждений, принадлежности к общественным объединениям, а также других обстоятельств.