Вопрос: куда нужно обращаться в таких случаях?

Исковое заявление подается в суд по месту Вашего жительства.

При этом, с учетом разъяснений приведенных в Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 23.06.2015 N 25 «О применении судами некоторых положений раздела I части первой Гражданского кодекса Российской Федерации»

12. По делам о возмещении убытков истец обязан доказать, что ответчик является лицом, в результате действий (бездействия) которого возник ущерб, а также факты нарушения обязательства или причинения вреда, наличие убытков (пункт 2 статьи 15 ГК РФ).

Вам нужно подтвердить факт причиненного Вам вреда и размер понесенного ущерба, а таже то, что причиненный вред находится в причинно-следственной связи с падением шлагбаума.

В качестве доказательств можете использовать медицинские документы, из которых следует причина обращения, вид причиненного вреда. 

В качестве возмещения Вы вправе требовать взыскания расходов на оказание медицинской помощи, утраченный заработок, компенсацию морального вреда.

Объеме требуемого возмещения определяется ст. 1085 ГК РФ, в силу которой

1. При причинении гражданину увечья или ином повреждении его здоровья возмещению подлежит утраченный потерпевшим заработок (доход), который он имел либо определенно мог иметь, а также дополнительно понесенные расходы, вызванные повреждением здоровья, в том числе расходы на лечение, дополнительное питание, приобретение лекарств, протезирование, посторонний уход, санаторно-курортное лечение, приобретение специальных транспортных средств, подготовку к другой профессии, если установлено, что потерпевший нуждается в этих видах помощи и ухода и не имеет права на их бесплатное получение.

При подаче иска в суд, государственной пошлиной он не оплачивается.

Перед направлением иска в суд, Вы в силу ст. 132 ГПК РФ должны приложить к нему документы, подтверждающие направление иска ответчику.