Здравствуйте,
1)
«Договор о Евразийском экономическом союзе» (Подписан в г. Астане 29.05.2014) (ред. от 01.10.2019) (с изм. и доп., вступ. в силу с 01.08.2021)
Статья 97 Трудовая деятельность трудящихся государств-членов
5. Срок временного пребывания (проживания) трудящегося государства-члена и членов семьи на территории государства трудоустройства определяется сроком действия трудового или гражданско-правового договора, заключенного трудящимся государства-члена с работодателем или заказчиком работ (услуг).
2)
Статья 97 Трудовая деятельность трудящихся государств-членов
9. В случае досрочного расторжения трудового или гражданско-правового договора после истечения 90 суток с даты въезда на территорию государства трудоустройства трудящийся государства-члена имеет право без выезда с территории государства трудоустройства в течение 15 дней заключить новый трудовой или гражданско-правовой договор.
Таким образом, если Вы уложитесь в срок и заключите новый трудовой договор то сможете не выезжать и продлить регистрацию.
Сейчас до конца этого года также действует
Указ Президента РФ от 18.04.2020 N 274 (ред. от 02.01.2021) «О временных мерах по урегулированию правового положения иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации в связи с угрозой дальнейшего распространения новой коронавирусной инфекции (COVID-19)»
Таким образом сроки указанные выше до конца года не действуют. Без выезда утраиваетесь до конца года на др работу и продлеваете регистрацию
http://www.consultant.ru/docum...
https://mfa.gov.kg/ru/dm/posol...
3) Проживать можете только на по месту пребывания, с работодателем заключаете трудовой договор на дистанционную работу
В таком случае если срок регистрации ещё не кончается и выезжать Вы не будете, проживать останетесь по месту своей регистрации, то ничего тогда заново делать не нужно. Главное до конца года у Вас должен быть действующий трудовой договор, чтобы не возникла обязанность выехать