И нужно ли нам какими-то документами дополнительными оформлять те дни, когда он возит меня?

Варвара!

В соответствии с общими положениями статьи 421 Гражданского Кодекса РФ стороны свободны при заключении договоров и определении их условий, не противоречащих закону.

Полагаю, что в таком случае вполне уместно будет предусмотреть в соответствующем пункте договора, где говорится о возможности использования ТС и для перевозки Вас по Вашим личным делам, прямо указать, что «Плата за пользование транспортным средством за сутки, в течение которых ТС используется в интересах Арендодателя и/или для его перевозки силами Арендатора, не взимается.»

Чтобы подтвердить то обстоятельство, что в определённые дни Вы использовали транспортное средство в своих интересах и не можете претендовать на внесение арендной платы, можно было бы по итогам месяца (или другого промежутка времени, недели, например) составлять двусторонний акт, в котором указывать, что «плата за конкретные дни (можно просто количество) внесению не подлежит, так как ТС использовалось в интересах Арендодателя, остальные дни аренды оплачены в полном объёме».

Тем самым вы совместно подтвердите и факт  использования ТС в Ваших интересах и факт оплаты использования ТС в другие дни соответствующего периода времени.

     Здравствуйте Варвара!
     Думаю, что Вам не нужно составлять никаких дополнительных документов. Этот вопрос должен беспокоить не Вас, а арендатора – водителя которому Вы передали в пользование свой автомобиль. Это своего рода «крючок», на котором Вы можете держать арендатора для, например, последующего «торга» по каким-то возникшим спорным  вопросам или конфликтам.
      Однако в  силу статьи 421 Гражданского кодекса РФ:

 Граждане и юридические лица свободны в заключении договора.
 Стороны могут заключить договор, как предусмотренный, так и не предусмотренный законом или иными правовыми актами.

       Из Вашего вопроса я понял, что Вы оформили с физическим лицом отношения по аренде автомобиля соответствующим договором, актом и т.д. То есть правоотношения между Вами возникли на основании обоюдного волеизъявления и носят законный характер.  
       Но если Вы желаете отрегулировать возникший у Вас вопрос на бумажном носителе, то Вам нужно составить письменное соглашение к договору аренды. Он должен выглядеть приблизительно так:

Дополнительное соглашение к Договору аренды транспортного средства
от "__"___________ 20___ г. 
 
г. _________                                                                                 дата
______________________________ (Ф.И.О.), именуемая в дальнейшем «Арендодатель», действующая от своего имени, с одной стороны и _____________________________ ( Ф.И.О.), именуемый в дальнейшем «Арендатор», действующий от своего, с другой стороны, совместно именуемые «Стороны», заключили настоящее Дополнительное соглашение (далее — Соглашение) о нижеследующем:
1. Арендатор два раза в неделю в согласованное заранее время возит Арендодателя и находящихся с ним третьих лиц на данном транспортном средстве в качестве пассажира не менее ____  часов  в сутки для личных целей Арендодателя. Затратная часть поездки возлагается на Арендатора и возмещению со стороны Арендодателя не подлежит. Арендатор в дни использования транспортного средства Арендодателем не уплачивает последнему деньги за  суточную  аренду автомобиля.     

 2. Соглашение является неотъемлемой частью Договора.
 3. Соглашение вступает в силу с момента его подписания обеими   Сторонами.
 4. Соглашение составлено в двух экземплярах, имеющих равную юридическую силу, по одному для каждой Стороны.
Подписи Сторон
Арендодатель:
Арендатор:
________/_______ (подпись/Ф.И.О.)
________/_______ (подпись/Ф.И.О.)
        Варвара!
        Поскольку Вы имеете официальные отношения с лицом и получаете от него деньги, Вам нужно будет в январе – марте 2022 года подать налоговую декларацию о доходе аренды и уплатить 13% от полученной суммы. Иначе Вы попадете на штрафные санкции и пени.
С уважением.

Варвара! Добрый день!

ГК РФ Статья 614. Арендная плата установлено, что

Арендная плата устанавливается за все арендуемое имущество в целом или отдельно по каждой из его составных частей в виде:

1) определенных в твердой сумме платежей, вносимых периодически или единовременно;
…
3) предоставления арендатором определенных услуг;

http://www.consultant.ru/docum...

Исходя из приведенных положений закона предлагаю Вам заключить дополнительное соглашение к имеющемуся договору аренды транспортного средства, в котором будет скорректирован пункт договора, касающийся арендной платы. Данный пункт можно сформулировать следующим образом: «Арендная плата устанавливается в размере _____ (_______) руб. в сутки и подлежит оплате за те дни, когда Арендодатель не использует транспортное средство для совершения поездок в личных либо иных целях. Арендная плата в те дни, когда Арендодатель использует транспортное средство для совершения поездок в личных либо иных целях, устанавливается в виде предоставления Арендатором Арендодателю услуг водителя. Указанные дни арендодатель и арендатор фиксируют в двухстороннем акте который составляется и подписывается Сторонами по итогам календарного месяца».

По смыслу приведенной статьи ГК РФ, действующее законодательство не запрещает устанавливать размер арендной платы комбинированными способами.

Если у Вас возникли вопросы — задавайте,  мы их обсудим.

С уважением, Екатерина.