Но стою в центре занятости по старой фамилии, поменяют ли мне там фамилию или можно будет на старой остаться

Кристина, здравствуйте!

Рекомендую направить в центр занятости заявление об изменении сведений (о смене фамилии). К заявлению приложите копию паспорта, а также копию свидетельства о заключении брака. 

Данный вариант наиболее приемлем, поскольку постановление Правительства РФ от 7 сентября 2012 г. № 891 «О порядке регистрации граждан в целях поиска подходящей работы, регистрации безработных граждан и требованиях к подбору подходящей работы» не содержит прямого указания на обязанность уведомить орган об изменении сведений, однако в целях предотвращения в будущем ошибок, рекомендую сообщить в центр занятости. 

Успехов в Вашем деле! Надеюсь, мой ответ был полезен.