Здравствуйте, Олег.
Не соглашусь с коллегой. Неподписание трудового договора — это только нарушение со стороны работодателя, а трудовые отношения у Вас уже существуют с момента фактического допуска к работе. Тем более, работодатель уже мог в ПФР направить уведомление о приеме на работу.
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.
ст. 67, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 28.06.2021)
По закону — да. Но можно попробовать договориться с работодателем. Сказать, что если не уволят сразу, напишете жалобу в государственную инспекцию труда, что трудовой договор не оформили в установленный срок.