Через месяц после ее смерти, сожитель составил завещание на меня, не вступив в права собственности

Здравствуйте.

согласно которому тот, кто не переоформил заново приватизацию, автоматически лишается прав собственности и квартира плавно переходит в собственность мэрии. Так ли это?

Нет, не так, приватизацию переоформлять не нужно.

Для начала нужно сделать:

1) Заказать в БТИ справку о зарегистрированных правах на данную квартиру (приложить копию свидетельства о смерти матери).

2) Обратиться в администрацию и узнать в каком году проводилась приватизация данной квартиры.

3) Попытаться узнать этот факт в управляющей компании, которая обслуживает данный дом.

Вполне возможно, что вам сказали о данном факте:

Статья 1151. Наследование выморочного имущества
 
1. В случае, если отсутствуют наследники как по закону, так и по завещанию, либо никто из наследников не имеет права наследовать или все наследники отстранены от наследования (статья 1117), либо никто из наследников не принял наследства, либо все наследники отказались от наследства и при этом никто из них не указал, что отказывается в пользу другого наследника (статья 1158), имущество умершего считается выморочным.
2. В порядке наследования по закону в собственность городского или сельского поселения, муниципального района (в части межселенных территорий) либо городского округа переходит следующее выморочное имущество, находящееся на соответствующей территории:
жилое помещение;
земельный участок, а также расположенные на нем здания, сооружения, иные объекты недвижимого имущества;
доля в праве общей долевой собственности на указанные в абзацах втором и третьем настоящего пункта объекты недвижимого имущества.

С уважением,

Шелковая Наталья Николаевна

Здравствуйте. Когда сделка по приватизации была? Если до 1998 года, то в Росррестре сведений нет. Возьмите выписку из домовой книги и посмотрите, что там указано. Договоры о приватизации регистрировались в Комитете муниципального жилья ( сейчас называется Департамент городского имущества)

 Вы пишите, что «мне там поведали о постановлении то ли 2002 года, то ли 2012, согласно которому тот, кто не переоформил заново приватизацию, автоматически лишается прав собственности и квартира плавно переходит в собственность мэрии» Это ложь. Не знаю, кто вам это сказал.

Приватизацию не нужно переоформлять.  А кто-нибудь прописан в этой квартире?