С началом нерабочего периода руководство предложило написать заявление на отпуск без сохранения заработной

Здравствуйте. Можете не писать заявление по собственному желанию. Это Ваше право, а не обязанность. О сокращении Вас должны уведомить за 2 месяца минимум. Ст. 180 ТК РФ

О предстоящем увольнении в связи с ликвидацией организации, сокращением численности или штата работников организации работники предупреждаются работодателем персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения.

Так что да требуйте уволить Вас по сокращению.

Добрый день,
 
Работодатель не имеет права принуждать вас писать заявление об увольнении.
Если он планирует сокращение, то обязан предупредить вас не менее, чем за два месяца. А также соблюсти процедуру.
Он обязан также предложить вам имеющиеся вакансии.

Увольнение по основанию по сокращению допускается, если невозможно перевести работника с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу), которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья.

При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором. (ст.81 ТК РФ)

Есть ТК РФ. Если происходит сокращение (а это сокращение, как я вижу), то работодатель обязан действовать в соответствии ТК РФ (уведомление, предложение вакансий, увольнение, выплата пособия) Салон он может закрывать еще раз 10. Но увольнение по собственному желанию, это не увольнение по инициативе работодателя. Обратитесь в Трудовую инспекцию, Прокуратуру. Они имеют все надзорные полномочия. Да это трудно, но завлечения писать не надо. Причем меня всегда поражает, что самыми бедными оказываются именно те, кто выводит бабло в офшоры, использует схематохз различный. К моему клиенту первым прибежал со снижением арендной ставки — Игосстрах… Причем еще до Постановлений Правительства по этому вопросу и до принятия закона об этом. 

Здравствуйте, Юлия!

В вашем случае есть несколько нюансов. Первый заключается в том, что успех закрытия салона без юридических последствий, для вашего работодателя, зависит от того является ли ваш салон обособленным юридическим лицом. Если да, то шансы выше. 

Вы заняли верную позицию, в связи с тем, что не желаете уволиться по собственному желанию, однако имейте ввиду, что работодатель может объявить простой, по независящим не от работодатели, ни от работника причинам и отправить всех работников домой на 2/3 от оклада. 

Другой нюанс заключается в том, что со стороны работодателя имеет место нарушение трудового законодательства, в виде понуждения к увольнению. Имейте ввиду этот аргумент в ходе своих дальнейших действий.

В моей практике, за последнее время, есть несколько подобных случаев, где я консультировал как одну, так и другую сторону (в разных случаях разную). Чтобы уточнить все нюансы, относительно вашей ситуации напишите мне в личные сообщения за консультацией.

Могу дать более подробную консультацию, в личных сообщениях, или подготовить необходимые документы, на платной основе.

Спасибо за вопрос:)