Возможно ли встать на биржу труда, если человек числится в реестре студентов на сайте mos ru, при этом студентом уже не является?

Здравствуйте.

Да, возможно. Сайт mos.ru не является официальным источником данных и тем более не наделен какими-либо правоприменительными функциями по ограничению чьего-либо правового статуса на основании данных, с которыми он работает. 

Иначе говоря, имеет значение содержательный момент, то есть являетесь ли Вы действительно студентом или нет. И доказывание в данном случае факта, что Вы являетесь студентом (если органы гос.власти так считают) лежит на гос.органах.

Удачи.