Может ли суд передать мне в собственность 1/4 долю в трехкомнатной квартире?

Может так сделать суд. Вы просите свой вариант раздела имущества. Муж вправе просить свой вариант. Суд будет решать чей вариант выгоднее вам обоим, может предложить свой вариант раздела.  

Статья 38. Раздел общего имущества супругов

1. Раздел общего имущества супругов может быть произведен как в период брака, так и после его расторжения по требованию любого из супругов, а также в случае заявления кредитором требования о разделе общего имущества супругов для обращения взыскания на долю одного из супругов в общем имуществе супругов.

2. Общее имущество супругов может быть разделено между супругами по их соглашению. Соглашение о разделе общего имущества, нажитого супругами в период брака, должно быть нотариально удостоверено.

3. В случае спора раздел общего имущества супругов, а также определение долей супругов в этом имуществе производятся в судебном порядке.

При разделе общего имущества супругов суд по требованию супругов определяет, какое имущество подлежит передаче каждому из супругов. В случае, если одному из супругов передается имущество, стоимость которого превышает причитающуюся ему долю, другому супругу может быть присуждена соответствующая денежная или иная компенсация.

Здравствуйте Анастасия! 

Вы имеете право заключить с бывшим супругом нотариальное соглашение о разделе общего имущества супругов на взаимоприемлемых условиях. В случае, если заключить нотариальное соглашение не представляется возможным, Вы имеете право предъявить исковое заявление о разделе общего имущества супругов в течении трехлетнего срока исковой давности с даты расторжения брака, в предлагаемом Вами порядке и на предлагаемых Вами условиях.

СК РФ Статья 38. Раздел общего имущества супругов
3. В случае спора раздел общего имущества супругов, а также определение долей супругов в этом имуществе производятся в судебном порядке.

При разделе общего имущества супругов суд по требованию супругов определяет, какое имущество подлежит передаче каждому из супругов. В случае, если одному из супругов передается имущество, стоимость которого превышает причитающуюся ему долю, другому супругу может быть присуждена соответствующая денежная или иная компенсация.
Статья 39. Определение долей при разделе общего имущества супругов

2. Суд вправе отступить от начала равенства долей супругов в их общем имуществе исходя из интересов несовершеннолетних детей и (или) исходя из заслуживающего внимания интереса одного из супругов, в частности, в случаях, если другой супруг не получал доходов по неуважительным причинам или расходовал общее имущество супругов в ущерб интересам семьи.