Как можно повлиять на них или может возможно получить дубликат в органах надзора?

Заявление подавайте в 2-х экземплярах, один с отметкой о принятии оставьте у себя как подтверждение. Пос истечении трех дней если книжку не выдадут, пишите жалобу в трудовую инспекцию, по ней будет проведена внеплановая проверка в рамках

 Приказа Минтруда и соцзащиты РФ

от 13 июня 2019 года N 160

Об утверждении Административного регламента осуществления Федеральной службой по труду и занятости федерального государственного надзора за соблюдением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права

Приложение. Административный регламент осуществления Федеральной службой по труду и занятости федерального государственного надзора за соблюдением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права

Административная процедура организации и проведения внеплановых проверок соблюдения работодателями обязательных требований

поступление в Роструд или его территориальный орган:

обращения или заявления работника о нарушении работодателем его трудовых прав;

http://docs.cntd.ru/document/5...

Работодатель может понести административную ответственность по статье

КоАП РФ Статья 5.27. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права

1. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, если иное не предусмотрено частями 3, 4 и 6 настоящей статьи и статьей 5.27.1 настоящего Кодекса, — влечет предупреждение или наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от одной тысячи до пяти тысяч рублей; на лиц, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, — от одной тысячи до пяти тысяч рублей; на юридических лиц — от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей.

Во вложении к ответу бланк образец такой жалобы.