Или могут только близкие родственники?

Здравствуйте, Марина! Ваше обращение в интересах дяди предполагает, что Вам на него обязаны дать ответ, при этом сведения буду касаться состояния здоровья и оказанных медицинских услуг.

Здесь следует руководствоваться ст. 22 ФЗ «Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации» от 21.11.2011 N 323-ФЗ, согласно которой право на информацию о состоянии здоровья имеет либо сампациент, либо его законный представитель, либо близкие родственники. 

Информация о состоянии здоровья предоставляется пациенту лично лечащим врачом или другими медицинскими работниками, принимающими непосредственное участие в медицинском обследовании и лечении. В отношении лиц, не достигших возраста, установленного в части 2 статьи 54 настоящего Федерального закона, и граждан, признанных в установленном законом порядке недееспособными, информация о состоянии здоровья предоставляется их законным представителям.
 В случае неблагоприятного прогноза развития заболевания информация должна сообщаться в деликатной форме гражданину или его супругу (супруге), одному из близких родственников (детям, родителям, усыновленным, усыновителям, родным братьям и родным сестрам, внукам, дедушкам, бабушкам), если пациент не запретил сообщать им об этом и (или) не определил иное лицо, которому должна быть передана такая информация.

Из практики суда.
Апелляционное определение Московского городского суда от 14.05.2012 по делу N 11-5281

В удовлетворении заявления об оспаривании решений, действий (бездействия) должностного лица отказано правомерно, поскольку заявителем не была представлена надлежащим образом оформленная доверенность, уполномочивающая его действовать от имени матери, медицинская документация, отражающая состояние ее здоровья, составляет врачебную тайну, ввиду чего оспариваемые права и законные интересы заявителя не нарушены.

Как видите, в данном случае в жалобе было отказано именно в связи с отсутствием полномочий.

Если Ваш дядя может ставить подпись, Вы, в свою очередь, можете подготовить жалобу, а он её подпишет и отправите почтой.

Здравствуйте, Марина! Поскольку по смыслу ст.22 Федерального закона от 21.11.2011 N 323-ФЗ  «Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации» информация о состоянии здоровья предоставляется только самому пациенту или его законному представителю (то есть родителю, опекуну, усыновителю или попечителю — ст.26, 28 ГК РФ, ст.64 СК РФ), а также вследствие того, что Ваше обращение в Департамент здравоохранения носит по своей сути правовой характер (Вам обязаны ответить в течение  30 дней согласно ч.1 ст.12 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ  «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации»), то представлять интересы дяди (в том числе писать жалобу) Вы должны на основании доверенности, выданной самим дядей (п.1 ст.185 ГК РФ): 

1. Доверенностью признается письменное уполномочие, выдаваемое одним лицом другому лицу или другим лицам для представительства перед третьими лицами.

Либо Вы можете напечатать (набрать на компьютере и распечатать) за дядю от его имени жалобу, а подпишет эту жалобу непосредственно дядя, тогда будет считаться, что  жалоба исходит непосредственно от его имени.