И в каких случаях имеет место быть обращение в трудовую инспекцию?

Здравствуйте Ксения. 

что мне насчитали 10 лишних дней отпускных (6 дней за 2017-18 год, 4 за 2018-19гг). 

Трудовым законодательством данные вопросы регулируются следующим образом.

Статья 137 Трудового кодекса РФ:

Заработная плата, излишне выплаченная работнику (в том числе при неправильном применении трудового законодательства или иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права), не может быть с него взыскана, за исключением случаев:
счетной ошибки;

если органом по рассмотрению индивидуальных трудовых споров признана вина работника в невыполнении норм труда 

если заработная плата была излишне выплачена работнику в связи с его неправомерными действиями, установленными судом.

Здесь же речь идет не о к примеру счетной ошибке т.е. арифметической, а о неправомерном начислении, т.е. нарушении допущенных конкретным работником при исполнении им своих служебных обязанностей, а значит в обязательном порядке Вы данное требование не обязаны удовлетворять, только добровольно.

В случае Вашего отказа, его работодатель вправе провести служебную проверку, привлечь работника к дисциплинарной ответственности и взыскать с  его заработной платы излишне выплаченную Вам сумму отпускных.

Добрый вечер, Ксения! Ну на самом деле в статье 137 ТК РФ есть такой момент:

Удержания из заработной платы работника для погашения его задолженности работодателю могут производиться:
…
при увольнении работника до окончания того рабочего года, в счет которого он уже получил ежегодный оплачиваемый отпуск, за неотработанные дни отпуска. Удержания за эти дни не производятся, если работник увольняется по основаниям, предусмотренным пунктом 8 части первой статьи 77или пунктами 1, 2 или 4 части первой статьи 81, пунктах 1, 2, 5, 6 и 7 статьи 83 настоящего Кодекса.

Но за отпуск за 17-18 год Вы точно ничего не должны. За отпуск за 18-19 год Вы должны только если Вы увольняетесь до окончания соответствующего рабочего года, при этом целиком использовав отпуск за данный рабочий год.

В любом случае добровольно ничего не платите. Если надо, пусть работодатель обращается в суд и доказывает Вашу задолженность перед ним.

По поводу медосмотра Вам не надо ничего делать в описанной ситуации, не вижу смысла.

И в каких случаях имеет место быть обращение в трудовую инспекцию? Спасибо.

В случаях, когда Вы знаете о нарушении Ваших трудовых прав или подозреваете об их нарушении и просите провести проверку. В любом случае, обращение в трудовую инспекцию — это почти всегда обострение отношений с начальством. Без серьезного повода лучше не обращаться.

С уважением!