Чтобы было понятно зачем: я часто переезжаю между двумя городами и забываю взять ВУ с собой

Здравствуйте, Дмитрий! С приложением кто-то, видимо, пошутил или нахулиганил какой-то хакер — напишите в техподдержку, чтобы убрали. )) А по Вашему основному вопросу поясняю, что иметь одновременно два водительских удостоверения нельзя. Старое уже недействительно. И если Вы будете его использовать, и это обнаружится, то Вы подпадёте под действие в отношении Вас административного правонарушения, предусмотренного статьёй 12.7. КоАП РФ (часть 1). Там штраф от 5 тыс. до 15 тыс. рублей. 

Здравствуйте, Вы можете опробовать рисковать и использовать старое водительское удостоверение, однако, если у сотрудника ГИБДД возникнут какие-то сомнения он сможет на месте проверить действительность водительского удостоверения. На основании п. 31  Правил проведения экзаменов на право управления транспортными средствами и выдачи водительских удостоверений, утв. Постановлением Правительства РФ от 24.10.2014 N 1097

при выдаче российского национального водительского удостоверения взамен ранее выданного российского национального водительского удостоверения соответствующие отметки и записи, содержащиеся в ранее выданном водительском удостоверении, переносятся в новое водительское удостоверение

. Такая же информация содержится в базах ГИБДД.
Согласно п. 35 вышеуказанных Правил 

Российское национальное или международное водительское удостоверение считается недействительным и подлежит аннулированию в следующих случаях: д) если поступило заявление об утрате (хищении) водительского удостоверения

. Поэтому при установлении, что Вы представили старое удостоверение вместо нового возможно будет привлечение Вас к административной ответственности по ст. 12.3 КоАП РФ —

Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе документов на право управления им, страхового полиса обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортного средства, за исключением случая, предусмотренного частью 2 статьи 12.37 настоящего Кодекса, а в случаях, предусмотренных законодательством, путевого листа или товарно-транспортных документов.