Здравствуйте, Алексей!
После того, как Вы купите квартиру Вы станете ее собственником и соответственно, можете через суд требовать устранения любых препятствий в реализации Ваших прав как собственника.
В том числе, Вы имеете право требовать выписки несобственников из квартиры.
Если мать и ребенок откажутся выписаться добровольно, то Вы сможете обратиться с исковым заявлением в суд и потребовать снять их с регистрационного учета.
ЖК РФ Статья 35. Выселение гражданина, право пользования жилым помещением которого прекращено или который нарушает правила пользования жилым помещением
1. В случае прекращения у гражданина права пользования жилым помещением по основаниям, предусмотренным настоящим Кодексом, другими федеральными законами, договором, или на основании решения суда данный гражданин обязан освободить соответствующее жилое помещение (прекратить пользоваться им). Если данный гражданин в срок, установленный собственником соответствующего жилого помещения, не освобождает указанное жилое помещение, он подлежит выселению по требованию собственника на основании решения суда.
Сам судебный процесс может быть сложный или же достаточно простого иского заявления, а потом просто ждать первый суд, перенос, второй суд, отправку писем, возврат писем и вступление в силу решения суда ?
Подобные дела могут быть рассмотрены и в одном судебном заседании. Обычно проходит месяц с момента подачи искового заявления до момента вынесения решения суда.
Единственное, что возможно в данной ситуации, если речь идет о ребенке, то в отношении него при наличии на то оснований, суд может отсрочить срок его выселения, к примеру если ребенку больше негде проживать в настоящее время.
Но в Вашей ситуации насколько я понял, они там только зарегистрированы, а фактически уже проживают в другом месте, а значит с этим тоже проблем не должно возникать.
В общем судебная практика по таким процессам уже состоявшаяся, поэтому достаточно обычного искового заявления, все остальное при необходимости будет выясняться при рассмотрении иска.