Можно ли сократить ставку заведующего библиотекой в середине учебного года?

Здравствуйте Светлана Михайловна.

При совмещении должностей, работник находится на своем основном рабочем месте и должности, совмещая при этом выполнение другой дополнительной работы, оно оформляется дополнительным соглашением к его основному трудовому договору. и здесь его уведомлять не нужно, если совмещаемая должность исключается из штата. нужно лишь прекратить в связи с этим действие его дополнительного соглашения заключив новое.

Если же Вы оформили внутренне совместительство, это уже несколько иные правоотношения, здесь оформляется отдельный новый трудовой договор на внутреннего совместителя. и в этом случае вы обязаны по закону уведомить его о предстоящем сокращении должности. предложить иную вакантную если таковая имеется.

Библиограф должен выполнять обязанности Заведующего библиотекой без доплаты).

 Можно ли расширять круг выполняемых обязанностей в середине учебного года?

Нельзя, в одностороннем порядке это прямо запрещено законом, обязательно согласие работника и обязательно должна быть доплата за выполнение им работы, если речь идет о дополнительной работе к рамках совмещения должностей (не путать с внутренним совместительством).

Статья 60.2 Трудового кодекса РФ:

С письменного согласия работника ему может быть поручено выполнение в течение установленной продолжительности рабочего дня (смены) наряду с работой, определенной трудовым договором, дополнительной работы по другой или такой же профессии (должности) за дополнительную оплату (статья 151 настоящего Кодекса).

Если необходима более подробная индвидуальная  консультация пишите в чат.