Здравствуйте, Сергей!
Дополнительные выходные предоставляются родителям ребенка-инвалида, опекунам, попечителям, другим лицам, воспитывающим ребенка без матери )ст. 262 ТК РФ; п. 17 Постановления Пленума ВС от 28.01.2014 № 1.) Причем выходными могут пользоваться как один, так и оба родителя, но в пределах общего количества дополнительных выходных дней в месяц (п. 6 Правил.)
То есть распределить 4 дня между собой родители могут так: 2 и 2, 3 и 1, 4 и 0.
Льгота касается только тех работников, которые работают по трудовому договору, в том числе и по совместительству (ч. 2 ст. 287 ТК РФ.)
Если ваша жена официально на больничном я не вижу смысла использовать эти 4 дня. Вы можете брать, написав заявление о предоставлении дополнительного выходного дня за ребенком-инвалидом....... Оплата производится по среднему заработку.