Татьяна, здравствуйте.
1) Досудебные претензии по трудовым спорам подавать не обязательно, законодательством они не предусмотрены.
2) Более того, если будете заниматься писаниной и ждать ответа, то рискуете пропустить срок обжалования увольнеия в суд.
ТК РФ Статья 392. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора
Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении — в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки.
За разрешением индивидуального трудового спора о невыплате или неполной выплате заработной платы и других выплат, причитающихся работнику, он имеет право обратиться в суд в течение одного года со дня установленного срока выплаты указанных сумм, в том числе в случае невыплаты или неполной выплаты заработной платы и других выплат, причитающихся работнику при увольнении.
Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба.
При пропуске по уважительным причинам сроков, установленных частями первой, второй и третьей настоящей статьи, они могут быть восстановлены судом.
3) Обжаловать увольнение вы можете в государственную трудовую инспекцию или в суд.
4) Увольнение незаконно, так как с вас не получили объяснения. Кроме того, больничный является уважительной причиной не прибытия на работу.
Дело в том, что увольнение за прогул является дисциплинарным взысканием за совершение дисциплинарного проступка (пп. «а» п. 6 ст. 81 ТК РФ). Порядок применения дисциплинарных взысканий определен в ст. 193 ТК РФ. Согласно данной статье работодатель в случае увольнения работника за прогул должен потребовать от него письменное объяснение. Если прогульщик не представит его, то это не является препятствием для увольнения.