Анна,
Требовать отработки перед увольнением в указанном случае нельзя, поскольку перемена места жительства в связи с переездом в другую местность препятствует продолжению прежней работы. Увольте работника в день, указанный им в заявлении, то есть без отработки (ч. 3 ст. 80 ТК РФ, абз. 2 пп. «б» п. 22 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2).
Отметим, что нормативно не предусмотрена обязанность работника представлять документы, подтверждающие перемену места жительства. Однако полагаем, что вы можете попросить работника представить документы, подтверждающие переезд, например билеты, договор о перевозке имущества. Суды придерживаются аналогичной позиции (см., например, Апелляционное определение Красноярского краевого суда от 15.11.2017 по делу N 33-15051/2017).