Здравствуйте, Екатерина! Поскольку Ваш двоюродный дядя не является членом семьи, то наиболее рациональным способом будет обращение в суд с иском о прекращении права пользования жилым помещением.
В данном случае применяется п.2 ст.292 ГК РФ
Переход права собственности на жилой дом или квартиру к другому лицу является основанием для прекращения права пользования жилым помещением членами семьи прежнего собственника, если иное не установлено законом.
То есть, после перехода права собственности на квартиру право пользования квартирой дяди прекратилось.
Под иным понимаются в том числе случаи отказа от приватизации при наличии равных на это прав. В этом случае дядя может проживать в квартиры бессрочно.
А также ч.1 ст.35 ЖК РФ
В случае прекращения у гражданина права пользования жилым помещением по основаниям, предусмотренным настоящим Кодексом, другими федеральными законами, договором, или на основании решения суда данный гражданин обязан освободить соответствующее жилое помещение (прекратить пользоваться им). Если данный гражданин в срок, установленный собственником соответствующего жилого помещения, не освобождает указанное жилое помещение, он подлежит выселению по требованию собственника на основании решения суда.
Уточните он не отказывался от приватизации данной квартиры?
Если нет, то Вам нужно обратиться в районный суд по месту расположения квартиры с иском о прекращении права пользования жилым помещением и выселении из жилого помещения.
К делу будет привлечен прокурор, так как оно касается жилищных прав гражданина.
В случае удовлетворения иска с решением суда вступившим в законную силу обратитесь в МФЦ для снятия дяди с регистрационного учета и службу судебных приставов для выселения.
До обращения в суд Вам необходимо направить дяде требование о выселении из квартиры, в котором разъяснить ему, что его право пользования жилым помещением прекращено, на основании указанной мной нормы права.
Дядя может быть снят с регистрационного учета в случае, если суд установит отсутствие у него прав в отношении жилого помещения. Решение суда является основанием для снятия с регистрационного учета.
Соответственно при подаче искового заявления Вы указываете, что дядя не имеет права собственности на данное жилье, не производит оплату за его содержание, фактически не пользуется им (или иные обстоятельсвта, связанные с использованием им жилья, которые нарушают Ваши права).
В исковом заявлении указываете следующие требования признать гражданина утратившим право пользования жилым помещением, расположенным по адресу и выселить его из занимаемого жилого помещения — если он там фактически проживает.
С исковым заявлением Вы можете обратиться в суд по адресу нахождения данного жилья, указав его в качестве адреса ответчика.