Могу ли я не приезжая в ГИБДД, где мне было выписано постановление, получить копию данного документа и как это сделать. Есть ли сроки регламентирующие подачу документов в страховую компанию?

Письменный ответ страховая дала? Если нет, пусть письменно отвечают. Также можете самостоятельно обратиться в гибдд чтобы вам выдали читаемый экземпляр постановления. 

Сергей, добрый день!

Согласно ч.1 ст. 24.4 КоАП РФ лица, участвующие в производстве по делу об административном правонарушении, имеют право заявлять ходатайства, подлежащие обязательному рассмотрению судьей, органом, должностным лицом, в производстве которых находится данное дело.

Таким образом, Вам следует направить письменное ходатайство в ГИБДД о направлении копии постановления по указанному в документе адресу. Кроме того, возможно предварительно позвонить и договориться, чтобы направили документ по электронной почте. 

Если ДТП у Вас оформлялось без участия сотрудников полиции, то согласно ч.2 ст. 11.1 Федерального закона «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств» от 25.04.2002 N 40-ФЗ -  В случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции бланк извещения о дорожно-транспортном происшествии, заполненный в двух экземплярах водителями причастных к дорожно-транспортному происшествию транспортных средств, направляется этими водителями страховщикам, застраховавшим их гражданскую ответственность, в течение пяти рабочих дней со дня дорожно-транспортного происшествия. Потерпевший направляет страховщику, застраховавшему его гражданскую ответственность, свой экземпляр совместно заполненного бланка извещения о дорожно-транспортном происшествии вместе с заявлением о прямом возмещении убытков.

Т.е. 5 дней со дня ДТП, при этом Вам нужно было сделать отметку о вручении несмотря на то, что постановление не читаемое. Важно исполнить свои обязательства. Никто не мешает Вам направить дополнительные документы позже, главное успеть в срок. 

Добрый день

да, можете 

Обратитесь в отдел, который Вам выдал копию, с приложением ответа от страховой и попросите направить читаемую копию постановления для реализации Вашего права на получение страхового возмещения.

Срок направления документов в страховую составляет 5 рабочих дней ( Положение Банка России от 19 сентября 2014 г. N 431-П Система ГАРАНТ: http://base.garant.ru/70752926/#ixzz5PDFt6LpO), 

но нарушение этого срока не приведет к отказу в выплате  

Сергей, здравствуйте.

Речь идет о выплате по ОСАГО или по КАСКО?

Если Вы уже сдали постановление в страховую компанию, то она сама может обратиться за получением его копии, отправив соответствующий вопрос.

Так если речь идет об ОСАГО, то в силу ст. 30 ФЗ «Об ОСАГО»

Органы внутренних дел посредством электронного взаимодействия предоставляют страховщикам, профессиональному объединению страховщиков по их запросам необходимые для реализации положений настоящего Федерального закона сведения о водительских удостоверениях лиц, допущенных к управлению транспортными средствами, о регистрации транспортных средстви зафиксированных сотрудниками полиции дорожно-транспортных происшествиях.

Срок обращения в страховую компания не регламентированы и сделать Вы это можете в любое время.