На Ютубе размещен с ФИО брата видеоролик порочащего содержания, грозит ли ответственность мужу?

Здравствуйте, Алла.

Что бы ответить на вопрос относительно наступления ответственности Вашего супруга и предоставления доказательств в суд необходимо ознакомиться с исковым заявлением.

По вопросу потрепанных нервов и личного времени

Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации

Статья 94. Издержки, связанные с рассмотрением дела

К издержкам, связанным с рассмотрением дела, относятся:
суммы, подлежащие выплате свидетелям, экспертам, специалистам и переводчикам;
расходы на оплату услуг переводчика, понесенные иностранными гражданами и лицами без гражданства, если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации;
расходы на проезд и проживание сторон и третьих лиц, понесенные ими в связи с явкой в суд;
расходы на оплату услуг представителей;
расходы на производство осмотра на месте;
компенсация за фактическую потерю времени в соответствии со статьей 99 настоящего Кодекса;
связанные с рассмотрением дела почтовые расходы, понесенные сторонами;
другие признанные судом необходимыми расходы.

Статья 98. Распределение судебных расходов между сторонами
 Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 96 настоящего Кодекса. В случае, если иск удовлетворен частично, указанные в настоящей статье судебные расходы присуждаются истцу пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, а ответчику пропорционально той части исковых требований, в которой истцу отказано.

Статья 99. Взыскание компенсации за потерю времени
Со стороны, недобросовестно заявившей неосновательный иск или спор относительно иска либо систематически противодействовавшей правильному и своевременному рассмотрению и разрешению дела, суд может взыскать в пользу другой стороны компенсацию за фактическую потерю времени. Размер компенсации определяется судом в разумных пределах и с учетом конкретных обстоятельств.

Сможете взыскать судебные издержки, в том числе расходы на оплату услуг юриста или адвоката.