Обязана ли я отрабатывать при увольнении?

Здравствуйте, Марина!

Вы пишете:

я работаю в банке, по части моей работы нареканий не было, но мне поступило другое предложение в той же сфере. Я написала заявление по собственному желанию ровно за две недели как пологается, но на  мое заявление работадатель ответил , что я должна отработать до конца месяца 

Надо полагать, что заявление Вы написали об увольнении по собственному желанию. Если так — надо так и писать.

По сути Вашего вопроса: если Вы хотя бы один день после истечения срока подачи заявления об увольнении отработаете у того же работодателя, Вам придётся писать новое заявление об увольнении. Это вытекает из смысла и содержания ст. 80 ТК РФ.

Насчёт возможности трудоустроиться в другом месте. Вы не можете не знать, что отношения работника и работодателя должны быть нормальные, деловые. К сожалению, большинство работодателей руководствуются принципом: «у кого больше прав, тот и прав». Поэтому очень желательно сохранять с работодателем нормальные отношения. Если на новом месте Вас не возьмут на работу, Вы можете обратиться в прокуратуру и работодателя принудят принять на работу. Но, как Вы поняли, надеюсь, тем самым Вы испортите отношения с работодателем. Лучше всего найти взаимопонимание без обжалований действий работодателя, объяснив ему ситуацию. Нормальный человек поймёт Вас и не откажет в принятии на работу.