Здравствуйте!
На Вашей стороне абз.2 ст. 67 ТК РФ:
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.
Практика, когда трудовые отношения признавались при незаключенном договоре, есть.
Но нужно тщательно собирать доказательства и чем больше — тем лучше.
Возможно, помимо указанных Вами, у Вас имеются — смс переписка, какие-то документы, пропуск на территорию работодателя?
Помните, что помимо признания трудовых отношений, будет необходимо также подтвердить размер вашей заработной платы.