Что будет, если просто после окончания действия СТД не выйти на работу?

Здравствуйте, Алексей.

Закон не обязывает работника, работающего по срочному трудовому договору, ни писать заявление на увольнение, ни предупреждать работодателя об отсутствии намерения продолжить трудовые отношения по окончании срока СТД. Уведомление должен работодатель направить работнику, а не наоборот (см.  ст. 79 ТК РФ).

Срочный трудовой договор прекращается с истечением срока его действия.

Если работник выйдет на работу 12.05.2018 и работодатель не будет возражать, вот только тогда договор станет бессрочным (ст. 58 ТК РФ).

Руководитель сказал, что нужно написать заявление на увольнение и отработать еще 2 недели

Алексей

или врет, чтобы задержать вас на работе, или просто не понимает закона.

Не занимайтесь ерундой, приходите на работу 11 мая и требуйте расчет. Не принимают заявление, а вы все-таки хотите подстраховаться — направьте сегодня телеграмму работодателю. Телеграмма должна быть категории «заверенная», телеграфисту нужно будет предъявить паспорт для удостоверения вашей подписи.