Можно ли подать в суд на детсад, если не приняли должные меры после падения ребенка с качели?

Да, конечно, вы можете подать исковое заявление в суд.Однако для начала все же  подайте жалобу в прокуратуру и управление образования.Проведут проверку, установят виновных лиц, затем уже  на основании официальных документов, где будут указаны виновные лица будет проще подавать иск в суд. Конечно ответчиков по делу будет не воспитатель, а юридическое лицо, то есть садик.Поэтому ждите ответов  о проведенной проверке

Согласно п. 14 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 26.01.2010 N 1 «О применении судами гражданского законодательства, регулирующего отношения по обязательствам вследствие причинения вреда жизни или здоровью гражданина»

В случае причинения вреда малолетним (в том числе и самому себе) в период его временного нахождения в образовательной организации (например, в детском саду, общеобразовательной школе, гимназии, лицее), медицинской организации (например, в больнице, санатории) или иной организации, осуществлявших за ним в этот период надзор, либо у лица, осуществлявшего надзор за ним на основании договора, эти организации или лицо обязаны возместить причиненный малолетним вред, если не докажут, что он возник не по их вине при осуществлении надзора.

Да в суд подать можете относительно Вашего вопроса есть положительная практика.