Здравствуйте, Антон.
По общему правилу и в соответствии с ч. 3 ст. 79 ТК РФ, временный работник, который принимается на работу для исполнения обязанностей отсутствующего работника, увольняется в день выхода основного (постоянного) работника на работу.
Но постоянный работник может прекратить трудовые отношения по собственному желанию.
После увольнения постоянного работника работодатель не вправе рассторгать срочный трудовой договор с временным работником по п. 2 ч. 1 ст. 77 ТК РФ, для этого нет оснований, так как постоянный работник больше не приступит к работе.
Если работодатель не желает заключать бессрочный трудовой договор с временным работником, то прекращение срочного трудового договора возможно по другим основаниям, предусмотренными ТК РФ.
Также, по ч. 4 ст. 58 ТК РФ. если после истечения срока трудового договора, заключенного на определенное время, ни одна из сторон не потребовала его его расторжения, то трудовой договор автоматически считается заключенным на неопределенный срок.
Таким образом, надавить на работодателя Вы не можете, но и основания для досрочного расторжения срочного трудового договора у работодателя не любые, они указаны в статьях 77,78,81 Трудового Кодекса РФ. Кроме того, не рекомендую Вашей супруге соглашаться на увольнение по собственному желанию под каким-либо давлением работодателя.
С уважением.
Еще один важный момент, проверьте, указано ли в срочном договоре, что он заключен именно на время нахождения основного работника в отпуске по уходу за ребенком?