Добрый день!
Трудовая книжка выдается на руки работнику только в случае увольнения или в целях его обязательного социального страхования (обеспечения).
Для оформления работы по совместительству трудовая книжка не нужна.
Согласно пункту 20 Правил ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей":
20. Сведения о работе по совместительству (об увольнении с этой работы) по желанию работника вносятся по месту основной работы в трудовую книжку на основании документа, подтверждающего работу по совместительству.