Могу ли я взять дополнительный отпуск за свой счет на период увольнения?

Отпуск за свой счет Вы можете взять. Но это не обязанность работодателя, а его право. Правило отработки 2 недель предусмотрено нормами Трудового кодекса РФ. 

Поэтому если работодатель не соглашается сразу уволить Вас по собственному желанию, то придется отработать 2 недели. 

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

    Нет, права на дополнительный и основной отпуск у Вас пока что не возникло, поэтому  работодатель вправе предложить Вам произвести увольнение по заявлению о увольнении по собственному желанию через две недели.

    Если только Вы заболеете, то срок нахождения на «больничном» засчитывается в срок предупреждения работодателя о своем желании уволиться по собственному желанию

Здравствуйте!

Отпуск может быть предоставлен только с согласия работодателя. В соответствии со ст. 128 ТК РФ,

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Случаи в которых работодатель обязан предоставить отпуск без содержания (п. 2 ст. 128 ТК РФ):

участникам Великой Отечественной войны — до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) — до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), — до 14 календарных дней в году;

работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.