Как избежать выплат за оказание услуг компании,с которой мы не заключали договор?

Понудить к заключению договора Вас никто не может:

ГК РФ Статья 421. Свобода договора

1. Граждане и юридические лица свободны в заключении договора.

Понуждение к заключению договора не допускается, за исключением случаев, когда обязанность заключить договор предусмотрена настоящим Кодексом, законом или добровольно принятым обязательством.

В Вашем случае законодательством не установлена обязанность заключения договора на вывоз мусора в частном секторе. Снять с себя долг Вы можете в судебном порядке, предъявив в судебном заседании договор с полигоном, на который Вы вывозите мусор. То есть Вы должны предъявить доказательство утилизации мусора собственными силами. Однако, на региональном уровне зачастую полигоны попросту не заключают договоры с физическими лицами именно в целях вынужденной меры заключать договор со специализированными организациями. Такая патовая ситуация.