Можно ли удержать с работника отпускные за неиспользованные дни отпуска, когда он был на больничном?

Нет, нельзя, больничный к отпуску никакого отношения не имеет сам по себе. Не очень понятно, что Вы имеете в виду вообще под «удержать неиспользованные дни отпуска».

Если работник во время отпуска заболел, то в подтверждение он обязан предъявить больничный лист. При этом отпуск, согласно статье 124 Трудового кодекса, должен быть продлен или перенесен на другой срок

Вообще глобально возможны два варианта развития событий:

Вариант 1. Если сотрудник в отпуске ушел на больничный и сообщил работодателю (устно или письменно) о том, что хочет продлить отпуск, то ни бухгалтеру, ни кадровику делать ничего не нужно вообще по идее. В данном случае продление отпуска по больничному листу происходит автоматически (п. 18 Правил, утв. НКТ СССР 30.04.1930 N 169) и нет необходимости издавать приказ о продлении отпуска, а также производить перерасчет отпускных при больничном.
Вариант 2. Если работник в отпуске ушел на больничный, но вышел на работу в положенный срок (т.е. не продлевал свой отдых) и предоставил больничный, то по согласованию с работодателем неотгулянные дни переносятся на другое время. При этом получается, что работнику были выплачены отпускные в большем размере, чем должны были быть. Поэтому излишние суммы отпускных можно зачесть в счет других выплат, положенных работнику. Кроме того, не забудьте внести «больничные» исправления в табель учета рабочего времени, если в нем уже отмечены дни отпуска.