Что делать, если в ночное время автомойщик угнал мое авто и совершил ДТП?

да, отвечать будет ваш сотрудник, так как нарушил внутренние правила организации в которой работает

Как следует из содержания абз. 2 ч. 1 ст. 1068 ГК РФ, одним из условий ответственности работодателя является причинение вреда работником именно при исполнении им трудовых (служебных, должностных) обязанностей, то есть вред причиняется не просто во время исполнения трудовых обязанностей, а в связи с их исполнением. 

К таким действиям относятся действия производственного (хозяйственного, технического) характера, совершение которых входит в круг трудовых обязанностей работника по трудовому договору или гражданско-правовому договору. Только в этом случае действия работника могут расцениваться как действия самого работодателя, которое и отвечает за вред.
Аналогичная позиция, возлагающая обязанность на работодателя по возмещению вреда, причиненного лицами, выполняющими работу на основании гражданско-правового договора, при условии, что эти лица действовали или должны были действовать по заданию работодателя и под его контролем за безопасным ведением работ изложена в п. 9 Постановления Пленума Верховного Суда РФ N 1 от 26.01.2010 г. «О применении судами гражданского законодательства, регулирующего отношения по обязательствам вследствие причинения вреда жизни или здоровью гражданина».

Поскольку вышеуказанные действия мойщика совершены хотя и на территории ИП, но не в период непосредственного исполнения им трудовых обязанностей, ответственным за вред должен быть сам мойщик.

Судебная практика подтверждающая вывод: 

Апелляционное определение Алтайского краевого суда от 11.07.2017 по делу N 33-7288/2017.