Как доказать, что отношения являлись трудовыми, если суд только частично признал это?

Добрый день! 

Не может быть частичных трудовых отношений. Вы неверно толкуете решение суда. Суд частично удовлетворил иск. Это разные вещи. А вот, в какой части суд отказал, невозможно Вам ответить. Нужно смотреть Решение суда.

Здравствуйте. Подавайте апелляционную жалобу в случае, если решение Вас не устроило. Ст. 67 ТК РФ:

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

Также как указал Верховный суд РФ в Постановлении Пленума от 17.03.2004 № 2 (ред. от 24.11.2015) «О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации»

При этом следует иметь в виду, что представителем работодателя в указанном случае является лицо, которое в соответствии с законом, иными нормативными правовыми актами, учредительными документами юридического лица (организации) либо локальными нормативными актами или в силу заключенного с этим лицом трудового договора наделено полномочиями по найму работников, поскольку именно в этом случае при фактическом допущении работника к работе с ведома или по поручению такого лица возникают трудовые отношения (статья 16 ТК РФ) и на работодателя может быть возложена обязанность оформить трудовой договор с этим работником надлежащим образом.