Можно ли оплачивать услуги и товары по договору наличными?

Составьте договор в простой письменной форме. К нему приложение в виде сметы. Деньги передайте по приходнику, это бланк строгой отчётности, найдёте в нете.

 В министерстве мне сказали, что для осуществления сделок, покупки товаров нужен договор и счет, они потом требуются для отчета. Можно ли в таком случае оплачивать наличными или только с банковского счета?

Добрый день следуйте указаниям Министерства оформляйте договор поставки  откройте счет в банке с него оформляйте перечислением  организацию поставщика который выставит вам счет  по этому  лучше искать ООО или ИП  с физлицом поставщиком могут быть проблемы с доказательством целевого использования выделенных вам грантовых средств.

И как составить счет на оказания услуг между физическими лицами?

практически это не выполнимо физлицо не может выставить счет.