Здравствуйте Яна.
Должны вернуть.
Вам необходимо было сообщить, что Вам уже выплачивалось пособие за предыдущий период, либо соответствующий запрос должна была сделать соцзащиты по новому месту жительства, но это рано или поздно станет известно и Вам придется вернуть суммы двойной выплаты пособия добровольно, либо с Вас взыщут их в судебном порядке.
Статья 1102 Гражданского кодекса РФ:
1. Лицо, которое без установленных законом, иными правовыми актами или сделкой оснований приобрело или сберегло имущество (приобретатель) за счет другого лица (потерпевшего), обязано возвратить последнему неосновательно приобретенное или сбереженное имущество (неосновательное обогащение), за исключением случаев, предусмотренных статьей 1109 настоящего Кодекса.
2. Правила, предусмотренные настоящей главой, применяются независимо от того, явилось ли неосновательное обогащение результатом поведения приобретателя имущества, самого потерпевшего, третьих лиц или произошло помимо их воли.