Надо ли мне подписывать справку председателя ТСЖ?

А вы являетесь членом ТСЖ? См. извлечение из закона ниже.

Если у вас натянутые отношения с председателем, то пусть он направляет вам просьбы/требования/запросы с обоснованием и официально — по почте, например.

Статья 143. Членство в товариществе собственников жилья

1. Членство в товариществе собственников жилья возникает у собственника помещения в многоквартирном доме на основании заявления о вступлении в товарищество собственников жилья.
2. Если в многоквартирном доме создано товарищество собственников жилья, лица, приобретающие помещения в этом доме, вправе стать членами товарищества после возникновения у них права собственности на помещения.
3. Членство в товариществе собственников жилья прекращается с момента подачи заявления о выходе из членов товарищества или с момента прекращения права собственности члена товарищества на помещение в многоквартирном доме.
4. Реестр членов товарищества собственников жилья должен содержать сведения, позволяющие идентифицировать членов товарищества и осуществлять связь с ними, а также сведения о размерах принадлежащих им долей в праве общей собственности на общее имущество в многоквартирном доме.
(часть 4 введена Федеральным законом от 04.06.2011 N 123-ФЗ)
5. Член товарищества собственников жилья обязан предоставить правлению товарищества достоверные сведения, предусмотренные частью 4 настоящей статьи, и своевременно информировать правление товарищества об их изменении.
(часть 5 введена Федеральным законом от 04.06.2011 N 123-ФЗ)
6. Членство в товариществе собственников жилья, созданном собственниками помещений в двух и более многоквартирных домах, прекращается у всех являвшихся членами товарищества собственников помещений в одном из многоквартирных домов с момента подачи заявления о выходе из членов товарищества собственника помещения в многоквартирном доме, в товариществе которого после прекращения этого членства члены товарищества, являющиеся собственниками помещений в том же доме, будут обладать менее чем пятьюдесятью процентами голосов от общего числа голосов собственников помещений в данном доме. После прекращения членства в товариществе собственники помещений в данном доме обязаны выбрать и реализовать один из указанных в статье 161 настоящего Кодекса способов управления многоквартирным домом.