Илья, добрый день.
Для целей регистрации ТС, главное чтобы лицо, на которого оно ставится на учет имело регистрацию по месту жительства или месту пребывания, что прямо следует из требований приказа МВД России от 24.11.2008 N 1001 «О порядке регистрации транспортных средств»
24.1. Транспортные средства регистрируютсяза физическими лицами по адресу, указанному в паспортах граждан Российской Федерации или в свидетельствах о регистрации по месту жительства собственников, выдаваемых органами регистрационного учета
Регистрация транспортных средств за физическими лицами, не имеющими регистрации по месту жительства, производится по адресу, указанному в свидетельствах о регистрации по месту пребывания собственников, выдаваемых органами регистрационного учета.
Однако, данный отказ формально обоснован исходя из положений приказа МВД России от 07.08.2013 N 605 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрации автомототранспортных средств и прицепов к ним»
15. Перечень документов, представляемых заявителями.
15.2. Документ, удостоверяющий личность.
15.2.1. Граждане Российской Федерации предоставляют паспорт гражданина Российской Федерации
При отсутствии в паспорте записей о регистрации по месту жительства представляют также документ, подтверждающий регистрацию по месту пребывания.
15.3. В предусмотренных законодательством Российской Федерации случаях представляется доверенность, договор, либо иной документ, удостоверяющий полномочия заявителя на представление интересов владельца транспортного средства.
Вы фактически выступаете в роли заявителя и приказ требует предоставления заявителем (а не владельцем транспортного средства паспорта с отметкой о регистрации по месту жительства или место пребывания).
При этом формально, то, что от его имени действует лицо по доверенности, не имеющего регистрации — не может служить препятствием в постановке ТС на учет по месту жительства его владельца.
Думаю, что для начала за разрешением спорной ситуации стоит обратиться с заявлением на имя руководителя ГИБДД Вашего региона.
Чтобы супруга не пропустила установленные сроки регистрации, осуществите ее через портал государственных услуг.