Можно ли написать заявление на увольнение и не выходить на работу, если нет копии трудового договора?

Добрый день! Уточните пожалуйста, сделана ли Вам запись в трудовую, или Вы работаете «неофициально»?

Анна, день добрый.

На случай, если чувствуете, что  при подаче заявления об увольнении по собственному желанию возникнут проблемы, заранее включите диктофон и запишите с работодателем разговор (эта запись может быть приложена к жалобе в трудовую инспекцию в случае нарушения Ваших прав).

При нарушении Ваших прав при разговоре с работодателем ниже приведу Вам статью, на которую можно ссылаться.

А еще как вариант можете написать заявление об увольнении и взять еще больничный, если не хотите больше выходить на работу.

ТК РФ, Статья 71. Результат испытания при приеме на работу 

  При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее чем за три дня с указанием причин, послуживших основанием для признания этого работника не выдержавшим испытание. Решение работодателя работник имеет право обжаловать в суд.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)
При неудовлетворительном результате испытания расторжение трудового договора производится без учета мнения соответствующего профсоюзного органа и без выплаты выходного пособия. Если срок испытания истек, а работник продолжает работу, то он считается выдержавшим испытание и последующее расторжение трудового договора допускается только на общих основаниях. Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.