Могут ли в трудовой книжке одной датой оформить увольнение и прием на работу в другую организацию?

Нет, поскольку днём увольнения во всех случаях является последний день работы.

Об этом сказано в ст. 84.1 ТК РФ.

Исключения составляют те случае, когда в день увольнения Вы фактически не работали (выходной по графику, больничный, отпуск и т. д.).

Но и тогда на день увольнения от одного работодателя и приёма к другому наличие трудовых отношений сразу с двумя работодателями возможно только в одном случае — при наличии договора о работе по совместительству.

Но это не влечёт для Вас каких-либо последствий, на стаж для пенсии не влияет, поскольку последний учитывается только за периоды уплаты работодателем на Ваше имя страховых взносов в Пенсионный фонд.