Возникает ли у новорожденного право собственности квартиру, после прописки в ней?

Прописать мать имеет право ребенка по месту своего жительства, собственником при этом она может и не быть, согласия других также не требуется.

Регистрация новорожденного в квартире не означает возникновения у него права собственности на данную квартиру.

при регистрации новорожденного в квартире его мамы должен ли он иметь на эту квартиру право собственности (иметь долю в той квартире, в которую его регистрируют при рождении)?

Регистрация ребенка не зависит от наличия у него права собственности. Он регистрируется по месту жительства родителя.

Можно ли будет продавая эту квартиру, выписать ребенка из нее и зарегистрировать в 1комнатную в области?

Да, можно будет снять с учета в одной квартире и свободно зарегистрировать в другой.

Будут ли запреты со стороны каких-нибудь органов, что условия у ребенка ухудшились и выписку запретят до достижения им 18 лет, соответственно, и продать квартиру тоже нельзя будет?

Не будет никаких запретов, т.к. в органы опеки за разрешением обращаются только при продаже собственности ребенка. В вашем случае он просто зарегистрирован в квартире.

Право собственности у ребенка по факту регистрации в квартире не возникает, но в случае продажи данной квартиры, пока ребенку не исполнится 18 лет необходимо будет брать разрешеия от органов опеки и попечительства по месту жительства ребенка. Орган опеки и попечительства должен выдать согласие на продажу квартиры, при условии что вы аргументируете, что условия проживания ребенка не ухудшаются. В принципе в вашей ситуации это вполне возможно, так как у вас по факту на 4 человек — двухкомнатная, а вы предоставите возможность проживания ребенку в однокомнатной (правда вы не написали кто еще будет прописан в однокомнатной квартире) то есть по метражу положение ребенка я так понимаю улучшится.

Право собственности у ребенка по факту регистрации в квартире не возникает, но в случае продажи данной квартиры, пока ребенку не исполнится 18 лет необходимо будет брать разрешеия от органов опеки и попечительства по месту жительства ребенка.

Не вводите автора вопроса в заблуждение, если ребенок не собственник, никаких разрешений при продаже квартиры от органа опеки и попечительства не требуется.