Должны ли перевести временного работника, если освободилось постоянное место?

Здравствуйте, Юлия! Решение данного вопроса зависит от работодателя. Перевод осуществляется по соглашению сторон, обязанности работодателя перевести Вас на постоянное место работы нет. Мой совет: подойдите к работодателю (с просьбой, а не требованием), объясните, что выполняете идентичные обязанности, опишите семейное положение. Я думаю, если Вы себя хорошо проявили, Вас переведут на постоянное место.

Здравствуйте, изменить трудовой договор можно только по соглашению. Переводить вас на освободившееся постоянное место работы работодатель не обязан, однако вы вправе обратится с данным вопросом к нему. Наличие трехлетнего ребенка на вопрос не влияет.

ТК РФ, Статья 72. Изменение определенных сторонами условий трудового договора

Изменение определенных сторонами условий трудового договора, в том числе перевод на другую работу, допускается только по соглашению сторон трудового договора, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом. Соглашение об изменении определенных сторонами условий трудового договора заключается в письменной форме.