Как продлить срок пребывания в РФ, если туристическая виза истекает через 3 месяца?

Дмитрий, здравствуйте.
Подача заявки на учебные языковые курсы не является основанием для продления срока пребывания в РФ. Для этого нужно (п. 2 ст. 5 ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в РФ»:

ходатайство образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается по очной или очно-заочной форме по основной профессиональной образовательной программе, имеющей государственную аккредитацию, о продлении срока временного пребывания в Российской Федерации такого иностранного гражданина.

Т.е. для продления срока необходимо не просто подать документы на учёбу, а быть зачисленным в образовательное учреждение, и получить вышеуказанное ходатайство.

В Вашем случае рекомендую продлевать визу.