Допустил ли работодатель нарушения требований ТК РФ при расторжении трудового договора по указанным основаниям? Если допустил,то какие?

Здравствуйте, Кирилл!
В данном случае Работодатель не допустил нарушений трудового законодательства.
Правовое обоснование:

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:
...
5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;
6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:
а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);
ст. 81, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 03.07.2016) {КонсультантПлюс}

При проведении аттестации, которая может послужить основанием для увольнения работников в соответствии с пунктом 3 части первой статьи 81 настоящего Кодекса, в состав аттестационной комиссии в обязательном порядке включается представитель выборного органа соответствующей первичной профсоюзной организации.

но

Коллективным договором может быть установлен иной порядок обязательного участия выборного органа первичной профсоюзной организации в рассмотрении вопросов, связанных с расторжением трудового договора по инициативе работодателя.

Проводилась ли аттестационная комиссия?

Присутствовал ли на ней член профсоюза?

Если нет, то нужно писать претензионное письмо и готовиться к отстаиванию своих интересов через судебные инстанции?

Считаю, что в данном случае имеются два нарушения требований ТК РФ.

1) Для увольнения работника, являющегося еще и членом профсоюзной организации, по инициативе работодателя, необходима тщательная подготовка. Порядок увольнения члена профсоюзной организации по пункту 5 части первой статьи 81 Трудового кодекса РФ регламентирован статьей 373 Трудового кодекса РФ, которая определяет процедуру увольнения. Климов был уволен в день прогула, следовательно работодатель не произвел установленную законом процедуру по увольнению сотрудника, состоящего в профсоюзе в соответствии со ст. 373 ТК РФ.

2) как указано, основанием для увольнение послужил прогул работника, о чем Климовым было написано объяснение. Следовательно, надо было уволить его в соответствии с п. «а» ч. 6 ст. 81 ТК РФ.