Имеют ли право выставлять заложенную квартиру на продажу, если это единственное жилье?

Сергей, здравствуйте. К сожалению, обратить взыскание на долю брата могут. Согласно ч.1 ст.446 ГПК РФ

Взыскание по исполнительным документам не может быть обращено на следующее имущество, принадлежащее гражданину-должнику на праве собственности:
жилое помещение (его части), если для гражданина-должника и членов его семьи, совместно проживающих в принадлежащем помещении, оно является единственным пригодным для постоянного проживания помещением, за исключением указанного в настоящем абзаце имущества, если оно является предметом ипотеки и на него в соответствии с законодательством об ипотеке может быть обращено взыскание.

Согласно ч.1 ст.50 ФЗ «Об ипотеке»

Залогодержатель вправе обратить взыскание на имущество, заложенное по договору об ипотеке, для удовлетворения за счет этого имущества названных в статьях 3 и 4 настоящего Федерального закона требований, вызванных неисполнением или ненадлежащим исполнением обеспеченного ипотекой обязательства, в частности неуплатой или несвоевременной уплатой суммы долга полностью или в части, если договором не предусмотрено иное.

При этом у Вас долевая собственность, а это означает следующее. Согласно ч.2 ст.7 ФЗ «Об ипотеке»

Участник общей долевой собственности может заложить свою долю в праве на общее имущество без согласия других собственников.
В случае обращения по требованию залогодержателя взыскания на эту долю при ее продаже применяются правила статей 250 и 255 Гражданского кодекса Российской Федерации о преимущественном праве покупки, принадлежащем остальным собственникам, и об обращении взыскания на долю в праве общей собственности, за исключением случаев обращения взыскания на долю в праве собственности на общее имущество жилого дома (статья 290 Гражданского кодекса Российской Федерации) в связи с обращением взыскания на квартиру в этом доме.

Это значит, что Вы имеете преимущественное право покупки доли по её рыночной цене.