Возможно ли подать иск имея в качестве доказательств переписку в социальной сети и квитанции о перечислении денег?

У нас даже устная форма договора является надлежащей, что уж тогда говорить о надлежаще заверенных скриншотах. Да, можно.

Анастасия, возможность подачи искового заявления у вас есть в соответствии со ст. 434 ГК РФ:

2. Договор в письменной форме может быть заключен путем составления одного документа, подписанного сторонами, а также путем обмена письмами, телеграммами, телексами, телефаксами и иными документами, в том числе электронными документами, передаваемыми по каналам связи, позволяющими достоверно установить, что документ исходит от стороны по договору.
Электронным документом, передаваемым по каналам связи, признается информация, подготовленная, отправленная, полученная или хранимая с помощью электронных, магнитных, оптических либо аналогичных средств, включая обмен информацией в электронной форме и электронную почту.

Однако, обязательным условием является то, что обе стороны должны выразить в данной переписке четкое согласие на принятие условий договора.